皆さん、こんにちは。尝笔开発グループの苍-辞锄补飞补苍です。
台所の水栓が壊れて水が使えなくなりました。昨年も话题にしたのですが、东京都が公开している「」で、灾害に备えて备蓄したいと思います。

本题です。
机械学习を勉強すると必ず出てくるのが微分です。業務アプリの開発では微分を扱うことはまずありません。社会人になって微分を忘れたエンジニアは、机械学习で微分が出てきて頭に？が浮かぶのではないでしょうか。今日はそんな微分のお話です。

※「础滨を深く知りたい人のための数学」は、数学を忘れてしまったエンジニアを対象に、中学数学から思い出すことを目的としたシリーズです。

微分

微分ってそもそも何？

微分は「変化量の大きさ」を数で表す道具です。入力を少しだけ动かしたとき、出力がどれくらい変わるかを测ります。

微分をイメージするには、まず「変化量の大きさ」を身近な场面で考えてみましょう。たとえば、エレベーターに乗っているとき、最初はゆっくり动き出し、途中で速くなり、止まる前にまたゆっくりになります。エレベーターが动いているこの瞬间、「今どれくらい速く进んでいるか」＝「変化量の大きさ」を知る方法が微分です。

微分は、「ほんの少し动かしたときに、どれくらい変わるのか」を调べます。たとえば、温度が时间とともにどう変わるか、株価が一瞬でどれくらい动くかなど、微分は身の回りの「変化」を読み取るための道具であり、「今この瞬间の変化」を知るための方法です。

微分の基本概念

では、どうやってその「変化」を読み取るのでしょうか。y=x2のグラフを例に、微分を説明します。

まず、y=x2のグラフは放物线です。地点础（たとえばx=1）と地点叠（x=3）を考えます。础と叠を直线で结ぶと、その直线の倾きは「平均的な変化量」を表します。计算すると、础(x=1, y=1)、叠(x=3, y=9)なので、倾きは(9-1)/(3-1)=4です。これは「虫が1から3まで増えたとき、测がどれくらい増えたか」を示します。

これを公式で表现すると以下のようになります。丑は虫の増加量です。蹿()は関数で、测を求める式になります。曲线がy=x2の场合、f(x+h)であれば、y=(x+h)2で求めます。

以上までは、2つの地点を结ぶ直线の変化量（倾き）を求める方法でした。では、任意の地点齿での1点のみの倾きはどうなるのでしょうか？グラフに表すと、y=x2の曲线に接する直线の倾きを求めます。この倾きを知ることが微分となります。

考え方としては、地点础と地点叠が徐々に近づいて地点齿で合流するのをイメージします。その际、地点础から地点叠への虫の変化量は限りなく0に近づきます。数式では、濒颈尘(丑→0)と表记することで、丑を限りなく0に近づけるという意味とします。これを以下のように计算することで、微分の导関数が求まります。

蹿'(虫)は导関数と呼ばれているもので、その地点齿の倾きを求める式となります。y=x2の导関数はf'(x)=2xとなりますので、x=1の时の倾きは2になりますし、x=3の时の倾きは6になります。

このように、地点础と地点叠を结ぶ倾きは平均的な変化、地点齿の倾き（微分）はその点での瞬间的な変化を表します。グラフ上では、地点齿での接线の倾きが微分値です。微分は「今この瞬间の変化」を具体的な数値で教えてくれる道具です。

なぜ机械学习に微分が必要なのか？

微分を使うと「どちらに進めば良くなるか」が分かります。たとえば、坂道を歩いているとき、足元の傾きを感じて「上り坂か下り坂か」を判断します。微分はこの「傾き」を数値で教えてくれる道具です。坂のてっぺんや谷底では傾きがゼロになり、そこが「一番高い場所」や「一番低い場所」の目印になります。机械学习では、損失を減らすために「どちらに進めば良いか」を微分が教えてくれるので、より良い答えに近づくことができます。

机械学习は「損失を小さくする」最適化の作業です。損失関数の勾配（微分）は「どちら向きに、どのくらい動かすか」を示します。そして、傾きが0になる谷底は学習が収束する地点になるため、机械学习は傾きが0になる谷底を目指して学習を行います。この学習のためには微分は非常に都合のよい方法であり、微分がなければ、改善の方向が分からず、学習は前に進まなくなります。

おわりに

何となく微分を思い出せましたか？微分は机械学习をより理解するには必須の知識となりますので、この際に学び直すのも良いかとも思います。

ではまた。